1.列项求和

2.数列求和有几种不同的方法?高考中经常用的是哪几种

3.常见的数列解题法有多少种?例:错位相减,累加,累乘.

4.等比数列分之一的前n项和怎么求哦?

5.数列并项怎样求和?

6.等比数列是什么?如何求和

数列求和高考例题_数学高中数列求和10种解题技巧

等差数列求和公式属于等差数列中的一种,用于计算等差数列从首项至末项的和。

基本公式

数列和公式sn=(a1an)×n÷2;数列和=(首项+末项)×项数÷2;

通项公式:an?=?a1?(n-1)d;通项=首项+(项数一1)?×公差;

项数公式:n=?(an?a1)÷d+1;项数=(末项-首项)÷公差+1;公差公式:d?=(an-a1))÷(n-1);公差=(末项-首项)÷(项数-1);

基本概念

首项:等差数列的第一个数,一般用a1表示;项数:等差数列的所有数的个数,一般用n表示;公差:数列中任意相邻两个数的差,一般用d表示;?通项:表示数列中每一个数的公式,一般用an表示;数列的和:这一数列全部数字的和,一般用Sn表示.

基本思路:等差数列中涉及五个量:a1,an,d,n,?sn,通项公式中涉及四个量,如果己知其中三个,就可求出第四个;求和公式中涉及四个量,如果己知其中三个,就可以求这第四个。

等差数列基本性质

(1)数列为等差数列的重要条件是:数列的前n项和S 可以写成S =+的形式(其中a、b为常数)。

(2)在等差数列中,当项数为时,;当项数为时,。

(3)若数列为等差数列,则…仍然成等差数列,公差为。

(4)若数列均为等差数列,且前n项和分别是,则=。

(5)在等差数列中,S = a,S = b (n>m),则S = (a-b)。

(6)记等差数列的前n项和为S。①若a >0,公差d<0,则当a ≥0且+1≤0时,S 最大;②若a <0 ,公差d>0,则当a ≤0且+1≥0时,S 最小。

(7)若等差数列Sp=q,Sq=p,则Sp+q=0。

等差中项

等差中项即等差数列头尾两项的和的一半,但求等差中项不一定要知道头尾两项。等差数列中,等差中项一般设为。当成等差数列时,,所以为的等差中项,且为数列的平均数。并且可以推知n+m=2×r,且任意两项的关系为:,(类似),相当容易证明,它可以看作等差数列广义的通项公式。

等差数列的应用日常生活中,人们常常用到等差数列如:在给各种产品的尺寸划分级别时,当其中的最大尺寸与最小尺寸相差不大时,常按等差数列进行分级。若为等差数列,且有。则。

其实,中国古代南北朝的张丘建早已在《张丘建算经》提到等差数列了:今有女子不善织布,逐日所织的布以同数递减,初日织五尺,末一日织一尺,计织三十日,问共织几何?书中的解法是:并初、末日织布数,半之,余以乘织讫日数,即得。这相当于给出了的求和公式。

等差数列求和的例题:

已知一个等差数列的首项为 a1 = 2,公差为 d = 3,求该等差数列的前 5 项和 Sn。

解题步骤如下:

1. 确定已知条件:

首项 a1 = 2

公差 d = 3

要求的项数 n = 5

2. 使用等差数列求和公式:

等差数列的求和公式为 Sn = (n/2) * (2a1 + (n-1)d)

3. 计算前 5 项和 Sn:

将已知条件代入等差数列求和公式,得到 Sn = (5/2) * (2*2 + (5-1)*3)

进行简化计算,得到 Sn = (5/2) * (4 + 12)

继续计算,得到 Sn = (5/2) * 16

最后计算,得到 Sn = 40

因此,该等差数列的前 5 项和 Sn = 40。

列项求和

n=10,奇数项之和减偶数项之和应该等于这个2n+1项等差数列的中位数,即就是a(n+1),而a(n+1)又等于(a1+an)/2,所以利用等差数列求和公式:(a1+an)/2*(2n+1)=315即15*(2n+1)=315,n=10

数列求和有几种不同的方法?高考中经常用的是哪几种

列项求和如下:

1、等差数列求和:找到该数列的首项a1和公差d(公差是数列中相邻两项构成的等差差值)。计算项数n。用公式Sn=n(a1+an)/2计算求和结果。把结果赋值给S,计算完成。公式:S=n(a1+an)/2。

2、等比数列求和:(1)找到数列的首项a1和公比q;(2)计算项数n; (3)用公式Sn=a1(1-qn)/(1-q)求和;(4)把计算结果赋值给S,求和完成。公式:S=a1(1-qn)/(1-q)。

3、一般项数列求和:(1)找到数列的首项a1、公差d和项数n; (2)用公式Sn=n/2[a1+(n-1)d]求和; (3)将计算结果赋值给S,求和完成。公式:Sn=n/2[a1+(n-1)d]。

4、三角形数求和:(1)求出数列的第一项a1;(2)用公式Sn=n(n+1)a1/2求和;(3)将计算结果赋值给S,求和完成。公式:Sn=n(n+1)a1/2。

5、公比级数求和:(1)找出数列的首项a1和公比q;(2)求出级数的和Sn;(3)将计算结果赋值给S,求和完成。公式:Sn=a1/(1-q)。

6、数列的偶数项求和:(1)找出数列的首项a1、公差d和偶数项;(2)用公式St=2(a1+an-2d)求和;(3)将计算结果赋值给S,求和完成。公式:St=2(a1+an-2d)。

7、数列的奇数项求和:(1)找出数列的首项a1、公差d和奇数项数;(2)使用公式S=2[a1+ (2n-1) d]求和;(3)将计算结果赋值给S,求和完成。公式:S=2[a1+ (2n-1) d]。

数列求和的方法

1、一般的数列求和,应从通项入手,若无通项,先求通项,然后通过对通项变形,转化为与特殊数列有关或具备某种方法适用特点的形式,从而选择合适的方法求和。

2、解决非等差、等比数列的求和,主要有两种思路。转化的思想,即将一般数列设法转化为等差或等比数列,这一思想方法往往通过通项分解或错位相减来完成。不能转化为等差或等比数列的数列,往往通过裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等来求和。

常见的数列解题法有多少种?例:错位相减,累加,累乘.

数列求和的几种常用方法

数列求和是数列部分的重要内容,题型复杂多变,我们根据不同题型总结出一些方法.它对数列的学习是有好处的.

一、 反序相加法

例1 求数列{n}的前n项和.

解 记Sn=1+2+…+(n-1)+n,

将上式倒写得: Sn=n+(n-1)+…+2+1

把两式相加,由于等式右边对应的项和均为n+1,

∴2 Sn=n(n+1),即Sn= n(n+1)

说明 此法亦称为高斯求和.

二、 错位相减法

若{an}为等差数列,{bn}为等比数列,则{anbn}的前n项和可用错位相减法.

例2 求和S =

解 由原式乘以公比 得:

Sn=

原式与上式相减,由于错位后对应项的分母相同,可以合并,

∴Sn- Sn= +

即 Sn=3

一般地, 当等比数列{bn}的公比为q, 则错位相减的实质是作“Sn- qSn”求和.

三、 累加法

例3 求和Sn=

分析 由 得

,令k=1、2、3、…、n得

2 -1 =3?1 +3?1+1

3 -2 =3?2 +3?2+1

4 -3 =3?3 +3?3+1

……

(n+1) -n =3n +3n+1

把以上各式两边分别相加得:

(n+1) -1=3(1 +2 +…+n )+3(1+2+3+…+n)+n

=3Sn+ n(n+1)+n

因此,Sn= n(n+1)(2n+1)

想一想 利用此法能否推导自然数的立方和公式:

点拨 利用(k+1) =k +4k +6k +4k+1进行累加.

归纳 推导自然数的方幂和 公式的方法。

四、 裂项法

从一般项入手,寻找规律,有时往往把一般项折项,使

得折项后能相消或归结于基本类型。

(1) 裂项分组

例4 求数列:

的前n项的和.

分析 从一般项入手,记a = ,

则 an= = .

可见,每一项都可分成一个常数项与一个等比数列的和,若记原数列的前n项为Sn,则

Sn=

(2) 裂项相消

例5 求和:S =

分析 从一般项考虑知: ,

所以将各项裂项后,前后的相邻项可以相消。

即 S =

例5 求证 tgxtg2x+tg2xtg3x+…+tg(n-1)xtgnx= -1

观察 观察式子的结构特点,左边各项的两因式的角之差

为定值x,从一般项入手,能否使之裂项出现这两角的差?

点拨 考虑两角差的正切函数公式的变式.

事实上,由tg(k-1)xtgkx= -1,

令k=2,3,…,n.各式相加即得结论.

等比数列分之一的前n项和怎么求哦?

举例1

设数列:1

2

3

4

……n

求其前n项的和

解答:

1

2

3

4

……n

n

n-1

n-2

n-3……1

设前n项和为S,以上两式相加

2S=(n+1)+[(n-1)+2]+[(n-2)+3]+……+(1+n)

(供n个n+1)

=n(n+1)

故S=n(n+1)/2

又比如:

举例2

求数列:2

4

6……2n的前n项和

解答:

2

4

6

……

2n

2n

2(n-1)

2(n-2)……

2

设前n项和为S,以上两式相加

2S=[2+(2n)]+[4+2(n-1)]+[6+2(n-2)]+……+[(2n)+2]

共n个2n+2

故:S=n(2n+2)/2=n(n+1)

对于等比数列,一般用“错位相减”法

举例3如下:

求数列:2

4

8

……2^n的前n项和

解答:

S=2+4+8+……+2^n,将其两边同乘以2

2S=2*2+4*2+8*2+……+2^(n+1)

=0+4+8+……+2^(n+1)

注意到前式只有首项和末项与后式不同,后式减前式

得2S-S=(0-2)+(4-4)+(8-8)+……+(2^n-2^n)+2^(n+1)

S=2^(n+1)-2

上述“错位相减”方法对于如下情形同样适用:

数列Cn=An*Bn,其中:An为等差数列,Bn为等比数列.

(此类数列求和问题是高考的常考题型)

举例4如下:

求数列Cn=n*2^n的前n项和

解答:设此数列的前n项和为S

S=1*2+2*4+3*8+……+n*2^n

,两边同乘以2

2S=

0+1*4+2*8+……+(n-1)*2^n+n*2^(n+1)

后式减前式:

S=-(2+4+8+……+2^n)+n*2^(n+1)

其中由上题例3的结论:2+4+8+……+2^n=2^(n+1)-2

S=-2^(n+1)+2+n*2^(n+1)=2+(n-1)*2^(n+1)

数列并项怎样求和?

一.用倒序相加法求数列的前n项和 如果一个数列{a<sub _extended="true">n</sub>},与首末项等距的两项之和等于首末两项之和,可采用把正着写与倒着写的两个和式相加,就得到一个常数列的和,这一求和方法称为倒序相加法。我们在学知识时,不但要知其果,更要索其因,知识的得出过程是知识的源头,也是研究同一类知识的工具,例如:等差数列前n项和公式的推导,用的就是“倒序相加法”。例题1:设等差数列{a<sub _extended="true">n</sub>},公差为d,求证:{a<sub _extended="true">n</sub>}的前n项和Sn=n(a1+an)/2解:Sn=a1+a2+a3+...+an ①倒序得:Sn=an+an-1+an-2+…+a1 ②①+②得:2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+(a3+an-2)+…+(an+a1)又∵a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=an+a1∴2Sn=n(a2+an) Sn=n(a1+an)/2点拨:由推导过程可看出,倒序相加法得以应用的原因是借助a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=an+a1即与首末项等距的两项之和等于首末两项之和的这一等差数列的重要性质来实现的。二.用公式法求数列的前n项和 对等差数列、等比数列,求前n项和Sn可直接用等差、等比数列的前n项和公式进行求解。运用公式求解的注意事项:首先要注意公式的应用范围,确定公式适用于这个数列之后,再计算。例题2:求数列的前n项和Sn解:点拨:这道题只要经过简单整理,就可以很明显的看出:这个数列可以分解成两个数列,一个等差数列,一个等比数列,再分别运用公式求和,最后把两个数列的和再求和。三.用裂项相消法求数列的前n项和 裂项相消法是将数列的一项拆成两项或多项,使得前后项相抵消,留下有限项,从而求出数列的前n项和。例题3:求数列(n∈N*)的和解:点拨:此题先通过求数列的通项找到可以裂项的规律,再把数列的每一项拆开之后,中间部分的项相互抵消,再把剩下的项整理成最后的结果即可。四.用错位相减法求数列的前n项和 错位相减法是一种常用的数列求和方法,应用于等比数列与等差数列相乘的形式。即若在数列{a<sub _extended="true">n</sub>·b<sub _extended="true">n</sub>}中,{a<sub _extended="true">n</sub>}成等差数列,{b<sub _extended="true">n</sub>}成等比数列,在和式的两边同乘以公比,再与原式错位相减整理后即可以求出前n项和。例题4:求数列{na<sup _extended="true">n</sup>}(n∈N*)的和解:设 Sn = a + 2a2 + 3a3 + … + nan①则:aSn = a2 + 2a3 + … + (n-1)an + nan+1②①-②得:(1-a)Sn = a + a2 + a3 + … + an - nan+1③若a = 1则:Sn = 1 + 2 + 3 + … + n = 若a ≠ 1则:点拨:此数列的通项是nan,系数数列是:1,2,3……n,是等差数列;含有字母a的数列是:a,a2,a3,……,an,是等比数列,符合错位相减法的数列特点,因此我们通过错位相减得到③式,这时考虑到题目没有给定a的范围,因此我们要根据a的取值情况分类讨论。我们注意到当a=1时数列变成等差数列,可以直接运用公式求值;当a≠1时,可以把③式的两边同时除以(1-a),即可得出结果。五.用迭加法求数列的前n项和 迭加法主要应用于数列{a<sub _extended="true">n</sub>}满足an+1=an+f(n),其中f(n)是等差数列或等比数列的条件下,可把这个式子变成an+1-an=f(n),代入各项,得到一系列式子,把所有的式子加到一起,经过整理,可求出an ,从而求出Sn。例题5:已知数列6,9,14,21,30,……其中相邻两项之差成等差数列,求它的前n项和。解:∵a2 - a1 = 3, a3 - a2 = 5, a4 - a3 = 7 ,…, an - an-1 = 2n-1把各项相加得:an - a1 = 3 + 5 + 7 + … + (2n - 1) =∴an = n2 - 1 + a1 = n2 + 5∴Sn = 12 + 22 + … + n2 + 5n =+ 5n点拨:本题应用迭加法求出通项公式,并且求前n项和时应用到了12 + 22 + … + n2=因此问题就容易解决了。六.用分组求和法求数列的前n项和 所谓分组求和法就是对一类既不是等差数列,也不是等比数列的数列,若将这类数列适当拆开,可分为几个等差、等比或常见的数列,然后分别求和,再将其合并。例题6:求S = 12 - 22 + 32 - 42 + … + (-1)n-1n2(n∈N*)解:①当n是偶数时:S = (12 - 22) + (32 - 42) + … + [(n - 1)2 - n2]= - (1 + 2 + … + n) = - ②当n是奇数时:S = (12 - 22) + (32 - 42) + … + [(n - 2)2 - (n - 1)2] + n2= - [1 + 2 + … + (n - 1)] + n2= -综上所述:S = (-1)n+1n(n+1)点拨:分组求和法的实质是:将不能直接求和的数列分解成若干个可以求和的数列,分别求和。七.用构造法求数列的前n项和 所谓构造法就是先根据数列的结构及特征进行分析,找出数列的通项的特征,构造出我们熟知的基本数列的通项的特征形式,从而求出数列的前n项和。例题7:求的和解:点拨:本题的关键在于如何构造出等差或等比数列的特征的通项,在这道题的解法中巧妙的运用了这一转化,使得数列的通项具备了等比数列的特征,从而为解题找到了突破口。

等比数列是什么?如何求和

并项求和常采用先试探后求和的方法。

例:1-2+3-4+5-6+……+(2n-1)-2n

方法一:(并项)

求出奇数项和偶数项的和,再相减。

方法二:

(1-2)+(3-4)+(5-6)+……+[(2n-1)-2n]

方法三:

构造新的数列,可借用等差数列与等比数列的复合。

an=n(-1)^(n+1)

扩展资料:

1、公式求和法:

①等差数列、等比数列求和公式

②重要公式:1+2+…+n=

1

2

n(n+1);

1

2

+2

2

+…+n

2

=

1

6

n(n+1)(2n+1);

1

3

+2

3

+…+n

3

=(1+2+…+n)

2

=

1

4

n

2

(n+1)

2

2、裂项求和法:将数列的通项分成两个式子的代数和,即a

n

=f(n+1)-f(n),然后累加抵消掉中间的许多项,这种先裂后消的求和法叫裂项求和法.用裂项法求和,需要掌握一些常见的裂项,如:a

n

=

1

(

A

n

+B)(

A

n

+C)

=

1

C-B

1

A

n

+B

-

1

An+C

);

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

3、错位相减法:对一个由等差数列及等比数列对应项之积组成的数列的前n项和,常用错位相减法.a

n

=b

n

c

n

,其中{b

n

}是等差数列,{c

n

}是等比数列。

4、倒序相加法:S

n

表示从第一项依次到第n项的和,然后又将S

n

表示成第n项依次反序到第一项的和,将所得两式相加,由此得到S

n

的一种求和方法。

百度百科-数列求和

1、等比数列是指从第二项起,每一项与它的前一项的比值等于同一个常数的一种数列。

举例:

数列:2、4、8、16、······

每一项与前一项的比值:4÷2=8÷4=16÷8=2,所以这个数列是等比数列,而它的公比就是2。

2、等比数列的求和公示如下:

其中a1为首项,q为等比数列公比,Sn为等比数列前n项和。

还是以数列:2、4、8、16、······为例,a1=2,公比q=2,

假如是求前四项的和,即:Sn=2×(1-2^4)÷(1-2)=30,与2+4+8+16=30 相符。

扩展资料

等比数列在生活中也是常常运用的。

如:银行有一种支付利息的方式---复利。

即把前一期的利息和本金加在一起算作本金,再计算下一期的利息,也就是人们通常说的利滚利。

按照复利计算本利和的公式:本利和=本金×(1+利率)^存期